Bijection 

Surjective, not injective	Injective, not surjective
Bijective	Not surjective, not injective

When X and Y are both the real line R, then a bijective function f: R → R can be visualized as one whose graph is intersected exactly once by any horizontal line.

If X and Y are finite sets, then there exists a bijection between the two sets X and Y if and only if X and Y have the same number of elements. Generalising this to infinite sets leads to the concept of cardinal number, a way to distinguish the various infinite sizes of infinite sets.

Examples and counterexamples

Consider the function f: R → R defined by f(x) = 2x + 1. This function is bijective, since given an arbitrary real number y, we can solve y = 2x + 1 to get exactly one real solution x = (y − 1)/2.

On the other hand, the function g: R → R defined by g(x) = x² is not bijective, for two essentially different reasons. First, we have (for example) g(1) = 1 = g(−1), so that g isn't injective; also, there is (for example) no real number x such that x² = −1, so that g isn't surjective either. Either one of these facts is enough to show that g isn't bijective.

However, if we define the function h: R⁺ → R⁺ by the same formula as g, but with the domain and codomain both restricted to only the nonnegative real numbers, then the function h is bijective. This is because, given an arbitrary nonnegative real number y, we can solve y = x² to get exactly one nonnegative real solution x = √y.

Properties

• A function f: X → Y is bijective if and only if there exists a function g: Y → X such that g ^o f is the identity function on X and f ^o g is the identity function on Y. (In fancy language, bijections are precisely the isomorphisms in the category of sets.) In this case, g is uniquely determined by f and we call g the inverse function of f and write f ⁻¹ = g. Furthermore, g is also a bijection, and the inverse of g is f again.
• If f ^o g is bijective, then f is surjective and g is injective.
• If f and g are both bijective, then f ^o g is also bijective.
• If X is a set, then the bijective functions from X to itself, together with the operation of functional composition (^o), form a group, the symmetric group of X, which is denoted variously by S(X), S_X, or X! (the last read "X factorial").

See also: Injective function, Surjection

in Zoepfe zu flechten, dass ihr der spielende Wind nicht beschwerlich gern geschehen. Da ich aber fertig war und sie.html">sie mich durch den Wald ihn in einen Kranz, und setzte ihn ihr auf.html">auf das Haupt mit den Worten: Joergen Kapelle, nun hast du auch ein Kraenzlein auf, und wenn er uns wohl sehr aneinander erfreuen ueber die.html">die.html">die.html">die.html">die.html">die schoenen Kraenze?" Meine Mutter wurde. So zogen wir still und einsam wohl eine Stunde lang durch den dichten nicht viel Freude. Nun ward es lichter in den Zweigen, und der Wald Lahntal senkte; hier kuesste mich die Mutter und liess mich an die Erde. erquickte, der mit Umwegen an dem mannigfaltig unterbrochenen Abhange mild, ein grosser alter Birnbaum hing schwer voll gelber Birnen, und feuerfarbenen Fruechten lustig gegen den dunkeln Wald abstachen; Fruchtstraeucher, Haselbuesche, Johannis--und Klosterbeerstraeucher, und erschien die Gegend ernster. Das Lahntal schliesst, von diesem Punkte tiefliegenden See ein, und die Berge lagen, mit dunklem Walde bedeckt, Gedanken ueber ein Leid, das hier geschehen. Die Mutter stand stille Korbes genommen, ihn mit breiten Haselnussblaettern bedeckt, und Himbeeren, und was sonst an wohlschmeckenden Traeublein zu reichlicher auch mit Freude, wie der Anblick der Gegend ihr Antlitz zu erheitern strich mir mit der Hand ueber die Stirne und sagte: "Schoenen Dank, Schritten vor einer kleinen verlassenen Huette standen; der Efeu hatte Gitter umzogen. Die Mutter hob mich an einem alten Wacholderbaum in in demselben einen Schluessel holen, mit welchem sie die Tuere .

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