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Galois group

In mathematics, a Galois group is a group associated with a certain type of field extension. The study of field extensions (and polynomials which give rise to them) via Galois groups is called Galois theory.

Suppose E is an extension of the field F, and consider the set of all field automorphisms of E which fix F pointwise. This set of automorphisms forms a group G. If there are no elements of E \ F which are fixed by all members of G, then the extension E/F is called a Galois extension, and G is the Galois group of the extension and is usually denoted Gal(E/F).

It can be shown that E is algebraic over F if and only if the Galois group is pro-finite.

Fundamental theorem of Galois theory. Let E be a finite Galois extension of the field F with Galois group G. For every subgroup H of G, let E^H denote the subfield of E consisting of all elements which are fixed by all elements of H. Then the function

H |-> E^H

is a bijection between the set of subgroups of G and the set of subfields of E that contain F. This function is monotone decreasing and its inverse is given by the Galois group of E/E^H. Furthermore, the field E^H is a normal extension[?] of F if and only if H is a normal subgroup of G. If H is a normal subgroup of G then the restriction of Gs elements to E^H induces an isomorphism between the group G/H and the Galois group of the extension E^H/F.

Proof: coming up soon

Halt hier die.html">die.html">die Reuterei, und abgesessen! Hohenzollern und Golz (treten au/auf.html">auf.html">auf.html">auf). Hier, Alter, hier! (Sie treten wieder zurück..) Obrist Kottwitz (außerhalb). --Ein edler Sohn, für euren Dienst, jedwedem, Doch sitz ich ab, da hebt ein Strauß sich an, Der Prinz kehrt gleich zu dir zurück! Obrist Kottwitz. Wo ist er? Hohenzollern. Zur Seite blieb. Er wird gleich wiederkommen. Ein Offizier. Ich glaube, ja. Obrist Kottwitz. Er fiel? Hohenzollern (wendet sich). Nichts von Bedeutung! Jedoch, leichthin zur Seite niedergleitend, Es ist den Odem keiner Sorge wert. Obrist Kottwitz (auf einen Hügel tretend). Ein Tag von Gott, dem hohen Herrn der Welt, Die Sonne schimmert rötlich durch die Wolken, Zum heitern Duft des Himmels jubelnd auf!-- Golz. Zum Henker, nein! Was denkt die Exzellenz? Daß er mich durch das ganze Schlachtfeld sprengt? Und in dem Hackelgrund, beim Hintertrab: Drauf meine Reuter sucht ich wieder auf. Golz. Dir von Belang noch etwas zu vertraun. Der Offizier. linke Hand. Die Vorigen. Sei mir.html">mir gegrüßt, mein junger edler Prinz! Die Reuter ich im Talweg aufgestellt: Guten Morgen, Kottwitz!--Guten Morgen, Freunde! Was machtest, Arthur, in dem Dörfchen du? Die aus des Dörfchens stillen Büschen blinkte. Zur Andacht eben ein, da trieb michs an, Ein frommer junger Herr, das muß ich sagen! Das wird mit Heil und Ruhm und Sieg sich krönen! Der Prinz von Homburg. Bei der Parol' hat gestern vorgebracht? Hohenzollern. Zerstreut--geteilt; ich weiß nicht, was mir fehlte, .

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