Hyperbolic function 

 sinh x = (exp(x) - exp(-x))/2    (hyperbolic sine, pronounced "shine" or "sinch")
 cosh x = (exp(x) + exp(-x))/2    (hyperbolic cosine, pronounced "cosh")
 tanh x = sinh(x)/cosh(x)         (hyperbolic tangent, pronounced "tanch")
 coth x = cosh(x)/sinh(x)         (byperbolic cotangent, pronounced "coth")
 sech x = 1/cosh(x)               (byperbolic secant, pronounced "sech")
 csch x = 1/sinh(x)               (hyperbolic cosecant, pronounced "cosech")

Just as the points (cos x, sin x) define a circle, the points (cosh x, sinh x) define a hyperbola because of the formula

(cosh x)² - (sinh x)² = 1.

The hyperbolic functions satisfy many identities, all of them similar in form to the trigonometric identities. In fact, Osborne's rule states that one can convert any trigonometric identity into a hyperbolic identity by expanding it completely in terms of integral powers of sines and cosines, changing sine to sinh and cosine to cosh, and switching the sign of every term which contains a product of two sinh's. This yields for example the addition theorems

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)

cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)

cosh(x/2) = √((1 + cosh(x)) / 2)

|sinh(x/2)| = √((cosh(x) – 1) / 2)

The derivative of sinh x is given by cosh x and the derivative of cosh x is sinh x. The graph of the function cosh x is the catenary curve.

The inverse of the hyperbolic functions are

 arcsinh x = ln(x + √(x² + 1))
 arccosh x = ln(x ± √(x² - 1))
 arctanh x = ln(√(1 - x²) / (1 - x))
 arccoth x = ln(√(1 - 1/x²) / (1 - 1/x))
 arcsech x = ln(1/x ± √(1/x² - 1))
 arccsch x = ln(1/x + √(1/x² + 1))

Since the exponential function can be defined for any complex argument, we can extend the definitions of the hyperbolic functions also to complex arguments. The functions sinh z and cosh z are then holomorphic; their Taylor series expansions are given in the Taylor series article.

suite correspondu, nous l'avons dit, une baisse dans les recettes chômère/re.html">re/re.html">re/rent.html">rent. Ce fut comme un étiage se marquant en sens inverse, là. Tous les théâtres connaissent ces effets de marée; elle.html">elle celui-là. La fourmilière foraine, qui exhibait ses talents et l'Homme qui Rit, entra en désespoir, mais fut éblouie. Tous les En voilà un qui est heureux d'avoir un mufle de bête féroce! Des enfants, les regardaient avec colère en montrant Gwynplaine et en Quelques-unes battaient leurs petits de fureur de les trouver fils «à la Gwynplaine». Une tête d'ange qui ne/ne.html">ne/ne.html">ne/ne.html">ne/ne.html">ne/ne.html">ne rapporte rien ne mère d'un petit qui était un chérubin de gentillesse et qui n'y a que ce Gwynplaine de réussi. Et, montrant le poing à son scène! Gwynplaine était une poule aux oeufs d'or. Quel merveilleux saltimbanques, enthousiasmés et exaspérés, contemplaient l'envie. Alors elle hurle. Ils essayèrent de troubler _Chaos fut pour Ursus un motif de harangues hortensiennes à la populace, ces coups de poing qui rétablissent l'ordre. Les coups de poing et estimer par Ursus. De loin, du reste; car le groupe de la tout, et quant à Tom-Jim-Jack, ce leader de la canaille faisait intimité, casseur de vitres, meneur d'hommes, paraissant, personne. Ce déchaînement d'envie contre Gwynplaine ne se tint pas pour avorté, les saltimbanques du Tarrinzeau-field rédigèrent une ordinaire. Contre un succès qui nous gêne, on ameute la foule, porté coup aux prêches. Le vide ne s'était pas fait seulement paroisses de Southwark n'avaient plus d'auditoire. On délaissait .

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