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Positive definite : Positive semidefinite

The positive definite matrices are in several senses analogous to the positive real numbers. An n × n Hermitian matrix M is said to be positive definite if it has one (and therefore all) of the following 6 equivalent properties:

(1) For all non-zero vectors z in Cⁿ we have

z^* M z > 0.

Here we view z as a column vector with n complex entries and z^* as the complex conjugate of its transpose.

(2) For all non-zero vectors x in Rⁿ we have

x^T M x > 0

(where x^T denotes the transpose of the column vector x).

(3) For all non-zero vectors u in Zⁿ (all components being integers), we have

u^T M u > 0.

(4) All eigenvalues of M are positive.

(5) The form

<x, y> = x^* M y

defines an inner product on Cⁿ. (In fact, every inner product on Cⁿ arises in this fashion from a Hermitian matrix.)

(6) All the following matrices have positive determinant: the upper left 1-by-1 corner of M, the upper left 2-by-2 corner of M, the upper left 3-by-3 corner of M, ..., and M itself.

Further properties

Every positive definite matrix is invertible and its inverse is also positive definite. If M is positive definite and r > 0 is a real number, then rM is positive definite. If M and N are positive definite, then M + N is also positive definite, and if MN = NM, then MN is also positive definite. To every positive definite matrix M, there exists precisely one square root: a positive definite matrix N with N² = M.

Negative definite, semidefinite and indefinite matrices

The Hermitian matrix M is said to be negative definite if

x^* M x < 0

for all non-zero x in Rⁿ (or, equivalently, all non-zero x in Cⁿ). It is called positive semidefinite if

x^* M x ≥ 0

for all x in Rⁿ (or Cⁿ) and negative semidefinite if

x^* M x ≤ 0

for all x in Rⁿ (or Cⁿ).

A Hermitian matrix which is neither positive nor negative semidefinite is called indefinite.

etait une colonne d'ivoire sur un socle d'argent.html">argent. C'etait un d'argent ornee de boucliers d'ivoire. Il n'y avait rien au monde noir.html">noir que tes cheveux. Dans le monde tout entier il n'y avait rien repandait d'etranges parfums, et quand je te regardais j'entendais Iokanaan? Derriere tes ma/mains.html">mains et tes blasphemes tu/tu.html">tu/tu.html">tu/tu.html">tu/tu.html">tu as cache.html">cache ton.html">ton son Dieu. Eh bien, tu l'as vu, ton Dieu, Iokanaan, mais moi, moi . Moi, je t'ai/ai.html">ai/ai.html">ai/ai.html">ai/ai.html">ai/ai.html">ai/ai.html">ai/ai.html">ai vu, Iokanaan, et je t'ai aime. Oh! comme je t'ai soif de ta/ta.html">ta/ta.html">ta/ta.html">ta/ta.html">ta beaute. J'ai faim de ton corps. Et ni le vin, ni les maintenant? Ni les fleuves ni les grandes eaux, ne/ne.html">ne/ne.html">ne/ne.html">ne/ne.html">ne pourraient J'etais une vierge, tu m'as defloree. J'etais chaste, tu as rempli Iokanaan? Si tu m'avais regardee tu m'aurais aimee. Je sais bien le mystere de la mort. Il ne faut regarder que l'amour. HERODE. elle.html">Elle est.html">est monstrueuse, ta fille, elle est tout a fait sur que c'est un crime contre un Dieu inconnu. HERODIAS. J'approuve ce que ma fille a fait, et je veux rester ici ne veux pas rester ici. Viens, je te dis. Je suis sur qu'il va flambeaux. Je ne veux pas regarder les choses. Je ne veux pas que Cachez les etoiles! Cachons-nous dans notre palais, Herodias. Je Un grand nuage noir passe a travers la lune et la cache commence a monter l'escalier.] LA VOIX DE SALOME. Ah! j'ai baise ta bouche, Iokanaan, j'ai baise saveur du sang? . . . Mais, peut-etre est-ce la saveur de l'amour. Qu'importe? J'ai baise ta bouche, Iokanaan, j'ai baise ta bouche. [Un rayon de lune tombe sur Salome et l'eclaire.] HERODE [se retournant et voyant Salome] Tuez cette femme! .

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