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Root of unity

In mathematics, a complex number z is called an n-th root of unity if zⁿ = 1 (here, n is a positive integer).

For every positive integer n, there are n different n-th roots of unity. For example, the third roots of unity are 1, (-1 +i√3) /2 and (-1 - i√3) /2. In general, the n-th roots of unity can be written as:

for j = 0, ..., n-1 (see pi and exponential function); this is a consequence of Euler's identity. Geometrically, the n-th roots of unity are located on the unit circle in the complex plane, forming the corners of a regular n-gon.

The n-th roots of unity form a group under multiplication of complex numbers. This group is cyclic. A generator of this group is called a primitive n-th root of unity. The primitive n-th roots of unity are precisely the numbers of the form exp(2πij/n) where j and n are coprime. Therefore, there are φ(n) different primitive n-th roots of unity, where φ(n) denotes Euler's phi function.

The n-th roots of unity are precisely the zeros of the polynomial p(X) = Xⁿ - 1; the primitive n-th roots of unity are precisely the zeros of the n-th cyclotomic polynomial

<math>

\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(X-z_k)\; </math> where z₁,...,z_φ(n) are the primitive n-th roots of unity. The polynomial Φ_n(X) has integer coefficients and is irreducible over the rationals (i.e., cannot be written as a product of two positive-degree polynomials with rational coefficients).

Every n-th root of unity is a primitive d-th root of unity for exactly one positive divisor d of n. This implies that

<math>

X^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X).\; </math> This formula represents the factorization of the polynomial Xⁿ - 1 into irreducible factors and can also be used to compute the cyclotomic polynomials recursively. The first few are

Φ₁(X) = X - 1

Φ₂(X) = X + 1

Φ₃(X) = X² + X + 1

Φ₄(X) = X² + 1

Φ₅(X) = X⁴ +X³ + X² + X + 1

Φ₆(X) = X² - X + 1

In general, if p is a prime number, then all p-th roots of unity except 1 are primitive p-th roots, and we have

<math>

\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k </math> Note that, contrary to first appearances, not all coefficients of all cyclotomic polynomials are 1, -1, or 0.

By adjoining a primitive n-th root of unity to Q, one obtains the n-th cyclotomic field F_n. This field contains all n-th roots of unity and is the splitting field of the n-th cyclotomic polynomial over Q. The field extension F_n/Q has degree φ(n) and its Galois group is naturally isomorphic to the multiplicative group of units of the ring Z/nZ.

As the Galois group of F_n/Q is abelian, this is an abelian extension. Every subfield of a cyclotomic field is an abelian extension of the rationals. In these cases Galois theory can be written out quite explicitly in terms of Gaussian periods[?]: this theory from the Disquisitiones Arithmeticae of Gauss was published many years before Galois.

Conversely, every abelian extension of the rationals is such a subfield of a cyclotomic field - a theorem of Kronecker[?].

so waere das wohl dem Endzweck und ihren Wuenschen gemaesser gewesen. Bei seinem Benehmen dagegen kam sie.html">sie.html">sie.html">sie in die.html">die.html">die.html">die.html">die groesste Verlegenheit; denn ihrem Beifall ueber das nach und nach Entstehende ziemlich abzuwechseln eine Art von Verhaeltnis zu kommen, so erwies er sich doch gar zu steif, Herz druecken und zum Himmel schauen musste, ja zuletzt, weil sich doch als einer Koenigin von Karien aehnlich sah. Die Vorstellung zog sich daher in die Lage; der Klavierspieler, der ausweichen sollte. Er dankte Gott, als er die Urne auf.html">auf der Pyramide stehn sah, und fiel lustiges Thema, wodurch die Vorstellung zwar ihren Charakter verlor, solgeich teilte, der Dame fuer ihren vortrefflichen Ausdruck und dem Bewunderung zu beweisen. Besonders der Braeutigam unterhielt sich mit dem Achritekten. "Es tut mir leid", sagte jener, "dass die Zeichnung so vergaenglich ist. Sie erlauben wenigstens, dass ich sie mir auf mein Zimmer bringen lasse -"Wenn es Ihnen Vergnuegen macht", sagte der Architekt, "so kann ich vorlegen, wovon dieses nur ein zufaelliger, fluechtiger Entwurf ist". Ottilie stand nicht fern und trat zu den beiden. "Versaeumen Sie nicht",sagte sie zum Architekten, "den Herrn Baron Kunst und des Altertums; ich wuensche, dass Sie sich naeher kennenlernen". einer Sammlung Kunstwerke", antwortete der Baron, "welche dieser Herr indem sie ihn mit beiden Haenden freundlich anfasste. "Es moechte jetzt der Zeitpunkt nicht sein", versetzte der Architekt. "Was!" rief Luciane gebieterisch, "Sie wollen dem Befehl Ihrer Koenigin .

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